0是余数吗？

王永

分配和分组都是整数除法的现实原型。无论是分配还是分组都有两种情形：①刚好分完，一个不剩；②有剩余，当余数比除数小时，就不能继续分配或分组了。这两种情况，分别对应着两种数学语言的描述：①余数等于0；②余数不等于0。所以，在数论中“整除”与“余数是0”是等价的概念。

总之，“余数是0”就是“一个不剩”的意思。规定“余数是0”的意义，即把0作为余数的一种情形，还有理论的意义，数论中“同余”的概念，就概括了0是余数的情形。

例如，所有的正整数除以3，根据余数可以把所有的正整数分成3类，即

余数是0、余数是1、余数是2等3个同余类。

为什么有人提出“0是余数吗”的质疑呢？这可能与平时不严谨的语言描述有关。如把“没有剩余的除法”说成“没有余数的除法”，把“有剩余的除法”说成“有余数的除法”。这种把除法分成有或没有余数的描述，导致了认知冲突：既然没有余数，怎么又冒出余数是0？